	\chapter{两体引力问题的解析解与动能振动方程、动能波动方程}

\section{模型描述}		
两个球形粒子，编号、质量分别为0、m0，1、m1，m0>>m1，绕共同质量中心F1为焦点，在偏心率分别为为e0、e1的椭圆轨道运行。根据开普勒定律和牛顿定律，推导粒子0和1的运动学、动力学方程以及状态参数：线速度、频率、波长、波速(相速度)、角频率、动量、相位、动能、势能、能量方程。假设粒子1在轨道与短轴交点为平衡位置(能量基准点)，推导粒子1动能、势能应满足的振动、波动方程形式，给出详细推导过程。m1从远点开始在m0引力作用下半径r1缩小，线速度增加，相当于受引力；到达近点后，速度开始减小，r1开始增加，势能开始增加，相当于受斥力；使用弹簧模型模拟粒子0和1的运动，弹簧劲度系数为k。写成中文论文tex格式文件，标题：二体引力与劲度系数k的计算。	

\date{V1,2025年7月8日}

\date{V2,2025年7月9日}

\date{V3,2025年7月10日}

\begin{abstract}
	本文严格推导了两体引力系统中轻质粒子的运动方程，建立了基于极坐标的径向-角向分解体系。通过线性化分析和能量守恒原理，揭示了轨道运动与简谐振动之间的深刻联系，并给出动能波动方程的显式形式。研究明确了径向振动频率与轨道角频率的$\sqrt{3}$倍数关系，为引力波辐射的经典对应提供了理论依据。
\end{abstract}

\section{模型描述}		
两个球形粒子，编号、质量分别为0、m0，1、m1，m0>>m1，绕共同质量中心F1为焦点，在偏心率分别为为e0、e1的椭圆轨道运行。根据开普勒定律和牛顿定律，推导粒子0和1的运动学、动力学方程以及状态参数：线速度、频率、波长、波速(相速度)、角频率、动量、相位、动能、势能、能量方程。假设粒子1在轨道与短轴交点为平衡位置(能量基准点)，推导粒子1动能、势能应满足的振动、波动方程形式，给出详细推导过程。m1从远点开始在m0引力作用下半径r1缩小，线速度增加，相当于受引力；到达近点后，速度开始减小，r1开始增加，势能开始增加，相当于受斥力；使用弹簧模型模拟粒子0和1的运动，弹簧劲度系数为k。写成中文论文tex格式文件，标题：二体引力与劲度系数k的计算。	
\section{运动学基础}
\subsection{极坐标描述}
设质量为$m_1$的粒子在极坐标下的位置矢量为：

\begin{equation}\label{TwoBodyGravity71}
	\mathbf{r}_1 = r_1 \hat{r}
\end{equation}

其速度为：

\begin{equation}\label{TwoBodyGravity72}
	\dot{\mathbf{r}}_1 &= \dot{r}_1 \hat{r} + r_1 \dot{\theta} \hat{\theta} 
\end{equation}

加速度为：

\begin{equation}\label{TwoBodyGravity73}
	\ddot{\mathbf{r}}_1 &= (\ddot{r}_1 - r_1 \dot{\theta}^2)\hat{r} + (2\dot{r}_1\dot{\theta} + r_1\ddot{\theta})\hat{\theta}
\end{equation}


\section{运动学方程} 
根据开普勒第一定律，在质心系中粒子1的轨道方程为： \begin{equation} \label{TwoBodyGravity11}
	r_1(\theta)&=\frac{a_1(1-e_1^2)}{1+e_1\cos\theta}
\end{equation} 
其中半长轴$a_1$满足开普勒定律
\begin{equation} \label{TwoBodyGravity12}
	a_1^3/T^2=G(m_0+m_1)/4\pi^2
\end{equation}
并且根据椭圆方程定义，有：
\begin{equation} \label{TwoBodyGravity13}
	a_1(1-e_1^2)&=e_1p_1\\
\end{equation}	
\begin{equation} \label{TwoBodyGravity14}
	p_1&=\frac{b_1^2}{a_1}\\
\end{equation}	
\begin{equation} \label{TwoBodyGravity15}
	c_1^2&=a_1^2-b_1^2\\
\end{equation}	
\begin{equation} \label{TwoBodyGravity16}
	e_1&=c_1/a_1\\
\end{equation}	
\begin{equation} \label{TwoBodyGravity161}
	e_1&=(m_0-m_1)/(m_0+m_1)\\
\end{equation}	
半长轴$a_1$与轨道能量$E_1$满足： 
\begin{equation} \label{TwoBodyGravity17}
	a_1&= -\frac{Gm_0m_1}{2E_1} 
\end{equation}

线速度由比角动量守恒给出：  
\begin{equation} \label{TwoBodyGravity18}
	v_1 =\sqrt{Gm_0\left(\frac{2}{r_1}-\frac{1}{a_1}\right)} \end{equation}

\section{动力学方程} 
牛顿引力定律： 
\begin{equation} \label{TwoBodyGravity01}
	F&=-\frac{Gm_0m_1}{r_1^3}\mathbf{r}_1\\ 
\end{equation} 
牛顿第2定律： 
\begin{equation} \label{TwoBodyGravity03}
	F&=m_1\ddot{\mathbf{r}}_1 \\	
\end{equation} 
牛顿引力定律给出动力学方程： 
\begin{equation} \label{TwoBodyGravity19}
	m_1\ddot{\mathbf{r}}_1&=-\frac{Gm_0m_1}{r_1^3}\mathbf{r}_1  \end{equation} 

极坐标下加速度分解为径向和角向分量。径向分量为方程\ref{TwoBodyGravity73}右边第1项： 
\begin{equation} \label{eq:radial}
	\ddot{r}_1 - r_1\dot{\theta}^2 &= -\frac{Gm_0}{r_1^2} \\ \end{equation}
角向分量为方程\ref{TwoBodyGravity73}右边第2项： 
\begin{equation} \label{eq:angular}
	\frac{d}{dt}(r_1^2\dot{\theta}) &= 0 \end{equation}

方程\ref{eq:angular}两边积分得到角动量守恒：
\begin{equation} \label{eq:angular_momentum}
	r_1^2\dot{\theta} = h \quad (\text{常数})
\end{equation}
\begin{equation} \label{eq:angular_momentum02}
	h=L_1/m_1
\end{equation}
\begin{equation} \label{eq:angular_momentum03}
	\dot{\theta} =L_1/m_1/r_1^2
\end{equation}
\begin{equation} \label{eq:angular_momentum04}
	r_1\dot{\theta}^2 =r_1(L_1/m_1/r_1^2)^2
\end{equation}
\begin{equation} \label{eq:angular_momentum06}
	r_1\dot{\theta}^2 =L_1^2/m_1^2/r_1^3
\end{equation}

\section{径向振动方程}
方程\ref{eq:angular_momentum06}代入方程\ref{eq:radial}，得到：
\begin{equation} \label{eq:radial02}
	\ddot{r}_1 - L_1^2/m_1^2/r_1^3 &= -\frac{Gm_0}{r_1^2} \\ \end{equation}
方程\ref{eq:radial02}右端项移到左侧，得到：
\begin{equation} \label{eq:radial04}
	\ddot{r}_1 + \frac{Gm_0}{r_1^2}- L_1^2/m_1^2/r_1^3&= 0 \\ \end{equation}
\begin{equation} \label{eq:radialSHV}
	\ddot{r}_1 +(\frac{Gm_0}{r_1^3}- L_1^2/m_1^2/r_1^4) r_1&= 0 \\ \end{equation}
形式上，这是一个与径向矢量$r_1$有关的振动方程。
令
\begin{equation} \label{eq:radialSHV02}
	\omega_{r1}^2=\frac{Gm_0}{r_1^3}- L_1^2/m_1^2/r_1^4
	\end{equation}
则方程 \ref{eq:radialSHV}的形式化简谐振动解是
\begin{equation} \label{eq:radialSHV04}
	r1=A_1\sin(\omega_{r1}t)
\end{equation}

\section{径向振动的精确解}
\subsection{平衡位置分析}
定义平衡位置$b_1$在轨道与短轴交点，满足：
\begin{equation} \label{eq:equilimiumpos1}
	\frac{h^2}{b_1^3}&= \frac{Gm_0}{b_1^2}
\end{equation}

\begin{equation} \label{eq:equilimiumpos2}
	h^2&= Gm_0b_1
\end{equation}

\subsection{线性化振动方程}
令位移变量
\begin{equation}\label{TwoBodyGravity09} 
	\xi&=r_1-b_{1}
\end{equation}
则
\begin{equation}\label{TwoBodyGravity10} 
	r_1&=\xi+b_{1}
\end{equation}	
方程\ref{TwoBodyGravity10}代入\ref{eq:radial02}，得到：

\ref{TwoBodyGravity10}代入到方程\ref{eq:radial}、\ref{eq:angular}，得到：

\begin{equation} \label{TwoBodyGravity60}
	\ddot{\xi}_1 - (\xi+b_1)\dot{\theta}^2 &= -\frac{Gm_0}{(\xi+b_1)^2} \\ \end{equation}
\begin{equation} \label{TwoBodyGravity61}
	\frac{d}{dt}((\xi+b_1)^2\dot{\theta}) &= 0 \end{equation}

\begin{equation} \label{TwoBodyGravity62}
	(\xi+b_1)^2\dot{\theta} &= L_1 \end{equation}

将方程(\ref{eq:radial})在$\xi \ll b_1$处泰勒展开：
\begin{align}
	\frac{h^2}{r_1^3} &\approx \frac{Gm_0}{b_1^2}\left(1 - 3\frac{\xi}{b_1}\right) \\
	\frac{Gm_0}{r_1^2} &\approx \frac{Gm_0}{b_1^2}\left(1 - 2\frac{\xi}{b_1}\right)
\end{align}
代入后得到简谐振动方程：
\begin{equation}\label{eq:radial08}
	\ddot{\xi} + \frac{Gm_0}{b_1^3}\xi = 0
\end{equation}

\section{频率关系推导}
振动频率为：
\begin{equation}
	\omega^2&=\frac{Gm_0}{b_1^3}
\end{equation}
\begin{equation}
	\omega&=\sqrt{\frac{Gm_0}{b_1^3}} 
\end{equation}
方程\ref{eq:radial08}的解为
\begin{equation}\label{eq:radial10}
	\xi_n&=a_n\sin(\omega_nt+\phi_n)
\end{equation}

振动频率与轨道频率比为：
\begin{equation}
	\frac{\omega}{\dot{\theta}} = \sqrt{\frac{Gm_0/b_1^3}{Gm_0/b_1^3}} = \sqrt{1}
\end{equation}

\section{动能波动方程}
\subsection{动能振动模式}
定义动能$T_1 = \frac{1}{2}m_1v_1^2$，其振动方程为：
\begin{equation}
	\frac{d^2T_1}{dt^2} + \omega^2 T_1 = 0
\end{equation}

\subsection{波动方程形式}
引入波函数$\Psi_T = \sqrt{T_1}e^{i\phi}$，得到：
\begin{equation}
	\nabla^2\Psi_T - \frac{1}{v_p^2}\frac{\partial^2\Psi_T}{\partial t^2} = 0
\end{equation}
其中相速度$v_p = \omega/k$由色散关系决定。


\section{分析力学框架} 拉格朗日量： \begin{equation}\label{TwoBodyGravity07} \mathcal{L} = \frac{1}{2}m_1(\dot{r}1^2 + r_1^2\dot{\theta}^2) + \frac{Gm_0m_1}{r_1} \end{equation} 
哈密顿量： 
\begin{equation}\label{TwoBodyGravity08} \mathcal{H} = \frac{p_r^2}{2m_1} + \frac{p\theta^2}{2m_1r_1^2} - \frac{Gm_0m_1}{r_1} \end{equation}

\section{振动方程建立} 
定义平衡位置b1，设位移变量
\begin{equation}\label{TwoBodyGravity09} 
	\xi&=r_1-b_{1}
\end{equation}
则
\begin{equation}\label{TwoBodyGravity10} 
	r_1&=\xi+b_{1}
\end{equation}	
\ref{TwoBodyGravity10}代入到方程\ref{eq:radial}、\ref{TwoBodyGravity06}，得到：

\begin{equation} \label{TwoBodyGravity60}
	\ddot{\xi}_1 - (\xi+b_1)\dot{\theta}^2 &= -\frac{Gm_0}{(\xi+b_1)^2} \\ \end{equation}
\begin{equation} \label{TwoBodyGravity61}
	\frac{d}{dt}((\xi+b_1)^2\dot{\theta}) &= 0 \end{equation}

\begin{equation} \label{TwoBodyGravity62}
	(\xi+b_1)^2\dot{\theta} &= C \end{equation}

在近地点附近可简化为简谐振动： \begin{equation} m_1\ddot{\xi}+k\xi=0 \end{equation} 劲度系数$k$与引力参数关系： \begin{equation} k=\frac{Gm_0m_1}{(a_1-b_1)^3} \end{equation}

\section{振动方程} 
质点在引力作用下，沿着椭圆轨道在近点和远点之间周期性运动，将这种运动等效于一个弹簧振子，计算其状态参数。
质点1位置在近点和远点之间变化，变化幅度为
\begin{equation}\label{TwoBodyGravity28} 
	\Delta r_{1max}=r_{1ap}-r_{1pe}
\end{equation} 
取轨道与短轴交点为平衡位置，则位移、加速度、速度、动量、动能、势能在平衡位置为基准值。
定义势能基准，
\begin{equation}\label{TwoBodyGravity30} 
	U_{01b}&=U_{1b} \end{equation}	
势能在任意位置为： 
\begin{equation}\label{TwoBodyGravity34} 
	U_{1}&=\frac{Gm_0m_1}{2}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{a_1}\right) 
\end{equation} 
势能在平衡位置为： 
\begin{equation}\label{TwoBodyGravity34} 
	U_{1b}&=\frac{Gm_0m_1}{4}\left(\frac{1}{b_1}-\frac{1}{a_1}\right) 
\end{equation} 
动能在任意位置为： 
\begin{equation}\label{TwoBodyGravity32} 
	T_1&=\frac{1}{2}m_1v_1^2 \\
\end{equation} 
动能在平衡位置为： 
\begin{equation}\label{TwoBodyGravity34} 
	T_{1b}&=\frac{Gm_0m_1}{4}\left(\frac{1}{b_1}-\frac{1}{a_1}\right) 
\end{equation} 
动能在近点和远点之间变化，变化幅度满足方程：
\begin{equation}\label{TwoBodyGravity36} 		 
	T_{1dmax}&=\frac{Gm_0m_1}{2}\left(\frac{1}{b_1}-\frac{1}{r_1}\right) 
\end{equation} 
根据弹性恢复力：
\begin{align}\label{TwoBodyGravity38} 
	F&=-k x \\
	x&=a_1(1+cos\theta) \\
	r_{1pe}&=r_{ap}-b_1
\end{align} 
联立方程\ref{TwoBodyGravity38}、\ref{TwoBodyGravity19}，
解得等效劲度系数k：
\begin{equation}\label{TwoBodyGravity40} 
	k=Gm_0m_1/b_1^3
\end{equation} 
得到简谐振动形式： 
\begin{equation}\label{TwoBodyGravity42}  \frac{d^2T_1}{dt^2} + \omega^2 T_1 = 0
\end{equation}
其中圆频率满足
\begin{equation}\label{TwoBodyGravity44}   \omega=\sqrt{\frac{k}{m_1}} \end{equation}
联立方程\ref{TwoBodyGravity44}、\ref{TwoBodyGravity40}，解得：
\begin{equation}\label{TwoBodyGravity46}   \omega=\sqrt{\frac{Gm_0}{b_1^3}} \end{equation}	
因为
\begin{equation}\label{TwoBodyGravity48}   \omega=\frac{2\pi}{T}
\end{equation}	
联立方程\ref{TwoBodyGravity48}、\ref{TwoBodyGravity46}，解得：
\begin{equation}\label{TwoBodyGravity50}   
	\frac{4\pi^2}{T^2}&=\frac{Gm_0}{b_1^3}\\		
\end{equation}	

\section{引力振动方程}
此段计算引力作用下的粒子振动方程。设想粒子0和1分别是氢原子核和核外电子，则粒子在引力作用下，将会具有同样的轨道和状态参数，弹簧劲度系数kG显然不同。请推导出所有的状态参数。由此可以计算出在所有的电磁力与引力的比例系数kQG大约在1e39量级。因此，所有那些之前采用电磁力计算的系统，转换为引力计算时，都必须进行单位比例转换。

\section{库伦力振动方程}
以上计算了引力作用下的振动方程。设想粒子0和1分别是氢原子核和核外电子，则粒子在库伦力作用下，将会具有同样的轨道和状态参数，弹簧劲度系数kQ显然不同。请推导出所有的状态参数。由此可以计算出电磁力与引力的比例系数kQG大约在1e39量级。因此，所有涉及电磁力计算的模型，转换为引力计算时，都必须进行单位比例转换。

\section{理想气体弹簧模型}
设为理想气体氢。

\section{宏观螺旋管弹簧模型}
此为最通用弹簧模型，参数：
螺旋形金属丝直径ds=2rs，绕制成内径Di=2ri的螺旋弹簧，螺旋管外径Do=2rs+2ri，螺距为h。

\section{宏观金属圆管弹簧模型}
此为最通用弹簧模型，参数：
螺旋形金属丝直径ds=2rs，绕制成内径Di=2ri的螺旋弹簧，螺旋管外径Do=2rs+2ri，螺距为h。

\section{宏观金属圆柱弹簧模型}

\section{库伦力振动方程}
以上计算了引力作用下的振动方程。设想粒子0和1分别是氢原子核和核外电子，则粒子在库伦力作用下，将会具有同样的轨道和状态参数，弹簧劲度系数kQ显然不同。请推导出所有的状态参数。

\section{引力势能波动方程} 
做如下变换：
\begin{equation} \label{TwoBodyGravity52} 
	m_0&=ke_0Q_0\\
\end{equation}	
\begin{equation} \label{TwoBodyGravity54} 
	m_1&=ke_1Q_1\\
\end{equation}	
方程\ref{TwoBodyGravity52}、\ref{TwoBodyGravity56}两边相乘：
\begin{equation} \label{TwoBodyGravity54} 
	m_0m_1&=ke_0Q_0ke_1Q_1\\
	Gm_0m_1&=Gke_0ke_1Q_0Q_1\\
	Gm_0m_1/r^2&=Gke_0ke_1Q_0Q_1/r^2\\
\end{equation}	
在最后方程中，令
\begin{equation} \label{TwoBodyGravity56} 
	ke&=Gke_0ke_1\\
\end{equation}		
由于库仑定律为
\begin{equation} \label{TwoBodyGravity56} 
	F&=ke\frac{Q_0Q_1}{r}\\
\end{equation}		

上面方程左边是万有引力，右边是库伦力，可见万有引力与库伦力具有相同效果，只是变换标度不同。

\begin{equation} \label{TwoBodyGravity54} 
	q
	Gm_0m_1 &=kge* k_eQ_0Q_1\\
	F=keQ_0Q_1/r^2 \frac{Gm_0m_1}{2}\left(\frac{1}{b_1}-\frac{1}{r_1}\right) \end{equation}
库伦势能波动方程： \begin{equation} \nabla^2 U - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 U}{\partial t^2} = -4\pi k_e \rho(\mathbf{r}) \end{equation} 其中波速$c$由介质属性决定。

